Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và \(\widehat{BAD}=\widehat{B\text{AA}'}=\widehat{D\text{AA}'}\) =60 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A'B'C'D')
Những câu hỏi liên quan
SGK Kết nối tri thức và cuộc sống
16 tháng 8 2023 lúc 18:33
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a,AA' \bot (ABCD)\) và \(\widehat {BAD} = {60^0}\).
a) Tính thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\).
a) Diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác BCD vì chung đáy BD và chiều cao AO = OC (ABCD là hình thoi)
Diện tích tam giác ABD: \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow S = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Thể tích khối hộp là \(V = AA'.{S_{ABCD}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
b) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)
Ta có \(AA' \bot BD,AO \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {A'AO} \right);BD \subset \left( {A'BD} \right) \Rightarrow \left( {A'AO} \right) \bot \left( {A'BD} \right)\)
\(\left( {A'AO} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'O\)
Trong (A’AO) kẻ \(AE \bot A'O\)
\( \Rightarrow AE \bot \left( {A'BD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AE\)
Xét tam giác ABD có AB = AD và \(\widehat {BAD} = {60^0}\) nên tam giác ABD đều
\( \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác AOA’ vuông tại A có
\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình hộp
A
B
C
D
.
A
B
C
D
có cạnh AB a và diện tích tứ giác
A
B
C
D
là
2
a
2
. Mặt phẳng
A
B
C
D
tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
, khoảng cá...
Đọc tiếp
Cho hình hộp A B C D . A ' B ' C ' D ' có cạnh AB = a và diện tích tứ giác A ' B ' C ' D ' là 2 a 2 . Mặt phẳng A ' B ' C ' D ' tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o , khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và CD bằng 3 a 21 7 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho, biết hình chiếu của A' thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD, đồng thời khoảng cách giưa hai đường thẳng AB và CD nhỏ hơn 4a
A. V = a 3 3
B. V = 3 a 3 3
C. V = 2 a 3 3
D. V = 6 a 3 3
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và
B
A
D
^
B
A
A
^
D
A
A
^
60
°
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’). A. ...
Đọc tiếp
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và B A D ^ = B A A ' ^ = D A A ' ^ = 60 ° . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).
A. a 5 5
B. a 6 3
C. a 10 5
D. a 3 3
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD
Ta có: A’B = A’D (đường chéo các hình thoi) ⇒ Tam giác A’BD cân tại A’ có O là trung điểm của BD ⇒ A’O ⊥ BD.
+ Hạ A’H ⊥ AC, H ∈ AC
Ta có B D ⊥ A C B D ⊥ A ' O ⇒ B D ⊥ A O A ' ⇒ A’H ⊥ BD
Do đó: A’H ⊥ (ABCD)
Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên A’H chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy.
+ Tính A’H
Ta có: AC = A D 2 + C D 2 − 2. A D . C D . cos 120 ° = a 3 ⇒ AO = a 3 2
Theo giả thiết ⇒ hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên ta có:
AH = 2/3 AO = a 3 3
A’H = A ' A 2 − A H 2 = a 2 − a 2 3 = a 6 3
Vậy khoảng cách giữa hai đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là a 6 3 .
Đáp án B
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho lăng trụ đứng
A
B
C
D
.
A
B
C
D
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
B
A
D
^
60
°
;
A
A
a
2
.
M là trung điểm của AA’ . Gọi
φ
của góc giữa hai mặt phẳng (
B...
Đọc tiếp
Cho lăng trụ đứng A B C D . A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, góc B A D ^ = 60 ° ; A A ' = a 2 . M là trung điểm của AA’ . Gọi φ của góc giữa hai mặt phẳng ( B ' M D và A B C D . Khi đó c os φ bằng:
A. 3 3
B. 3 4
C. 2 3
D. 5 3
SGK Chân trời sáng tạo
20 tháng 8 2023 lúc 21:40
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = 2a\) và đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt 3 \).
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B{\rm{D}}\) và \(AA'\).
b) Tính thể tích của khối hộp.
a) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\)
\(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}} \Rightarrow AO \bot B{\rm{D}}\)
\(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO\)
\( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},AA'} \right) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2} \Rightarrow B{\rm{D}} = 2BO = a\\{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{4}\end{array}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình hộp
A
B
C
D
.
A
B
C
D
có
A
B
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); góc của
A
A
với (ABCD) bằng
45
°
. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng
B
B
và
D
D
bằng 1. Góc của mặt phẳng...
Đọc tiếp
Cho hình hộp A B C D . A ' B ' C ' D ' có A ' B vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); góc của A A ' với (ABCD) bằng 45 ° . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng B B ' và D D ' bằng 1. Góc của mặt phẳng B C C ' B ' và mặt phẳng C C ' D D ' bằng 60 ° . Thể tích khối hộp đã cho là:
A. 2 3
B. 2
C. 3
D. 3 3
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên đường thẳng BB’ và DD’.
Theo đề bài, ta có: A H = A K = 1
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Chọn C.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
A
C
2
a
,
B
A
D
^
120
∘
.
Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng
A
B
C
D...
Đọc tiếp
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, A C = 2 a , B A D ^ = 120 ∘ . Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng A ' B ' C ' D ' là trung điểm cạnh A' B' góc giữa mặt phẳng A C ' D ' và mặt đáy lăng trụ bằng 60 ∘ . Tính thể tích V của khối lăng trụ A B C D . A ' B ' C ' D '
A. V = 2 3 a 3
B. V = 3 3 a 3
C. V = 3 a 3
D. V = 6 3 a 3
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC, kẻ H K ⊥ C ' D ' K ∈ C ' D '
Suy ra B H ⊥ A ' B ' C ' D ' ⇒ A C ' D ' ; A ' B ' C ' D ' ^ = B K H ^
Tam giác A’C’D’ đều cạnh 2 a ⇒ H K = d A ' ; C ' D ' = a 3
Tam giác BHK vuông tại H ⇒ B H = tan 60 ∘ x H K = 3 a
Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là S A ' B ' C ' D ' = 2 a 2 3 .
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’D’ là V = B H . S A ' B ' C ' D ' = 3 a .2 a 2 3 = 6 3 a 3
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a và
A
B
C
⏜
120
°
. Góc giữa cạnh bên AA và mặt đáy bằng
60
°
, điếm A’ cách đều các điểm A, B, D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a. A.
a
3
3
3...
Đọc tiếp
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh bằng a và A B C ⏜ = 120 ° . Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng 60 ° , điếm A’ cách đều các điểm A, B, D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a.
A. a 3 3 3
B. a 3 3 2
C. a 3 3 12
D. a 3 3 6
11 tháng 2 2023 lúc 14:12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a và \(\widehat{ABC}=\widehat{B'BA}=\widehat{B'BC}=60^0\). Chứng minh A'B'CD là hình vuông
